項
プラス、または、マイナスの符号の前で区切ったものを項（こう）といいます。
２a＋３ の場合、符号の前で区切ると、２aと＋３に分けることができます。
そのため項は２aと３と言えます。
２a－３ の場合、符号の前で区切ると、２aと－３に分けることができます。
そのため項は２aと－３と言えます。
－２a＋３ の場合、符号の前で区切ると、－２aと＋３に分けることができます。
そのため項は－２aと３と言えます。
係数
項の中で、文字にかけ合わされている数字を係数（けいすう）といいます。
２aの係数は２
－２aの係数は－２
aの係数は１
－aの係数は－１
分数の場合も同様です。
次数
項の中でかけ合わされている文字の数を次数（じすう）といいます。
５abの次数は２次
－７x２yの次数は３次
２a３b２の次数は５次
式の項数と次数
式を項に分けたとき、その項の数をかぞえて、○項式といいます。
また、それぞれの項の次数のうち最大のものが式の次数になります。
２x＋３y＋１は、３つの項に分けることができ、各項の中で最大の次数は１次なので、３項式・１次式
x２＋２x＋３は、３つの項に分けることができ、各項の中で最大の次数は２次なので、３項式・２次式
２ab－３a＋６b３－１は、４つの項に分けることができ、各項の中で最大の次数は３次なので、４項式・３次式
式の加減
文字の部分が全く同じ項は、たし算やひき算をすることができます。
そのとき、係数だけを計算し、もとの文字をつけ加えます。
文字の部分が全く同じ項を同類項（どうるいこう）といいます。
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例
① |
２a＋３b＋２＋４a＋５b＋３ |
＝２a＋４a＋３b＋５b＋２＋３
＝（２＋４）a＋（３＋５）b＋（２＋３）
＝６a＋８b＋５ |
・・・同類項ごとまとめて計算 |
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| ２x２＋３x＋１＋２x２＋４x＋３ |
＝２x２＋２x２＋３x＋４x＋１＋３
＝（２＋２）x２＋（３＋４）x＋（１＋３）
＝４x２＋７x＋４ |
・・・同類項ごとまとめて計算 |
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| ２a＋１＋a－２ |
＝２a＋a＋１－２
＝（２＋１）a＋（１－２）
＝３a－１ |
・・・aの項は、数字の１が省略されていることに注意
・・・同類項ごとまとめて計算 |
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| （x２－x－１）＋（x２＋４x－３） |
＝x２＋x２－x＋４x－１－３
＝（１＋１）x２＋（－１＋４）x＋（－１－３）
＝２x２＋３x－４ |
・・・＋のかっこは、そのままはずすことができる
・・・マイナスの符号に注意 |
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| （x２－x－１）－（x２＋４x－３） |
＝x２－x－１－x２－４x＋３
＝x２－x２－x－４x－１＋３
＝（１－１）x２＋（－１－４）x＋（－１＋３）
＝－５x＋２ |
・・・ひき算は最初にかっこをはずす
（この式省略はミス多発） |
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ひっ算
ひっ算で求めることもできます。
| たし算の例 |
２a２－３a＋１
＋）３a２＋２a－２
５a２－ a－１ |
２a－２b
＋） a－２b
３a－４b |
３a＋ b
＋）－a＋２b
２a＋３b |
－２a－ b
＋） a＋２b
－a＋ b |
正負の数より
－（＋●）＝＋（－●）
－（－●）＝＋（＋●）
| ひき算の例 |
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２x２＋１x－３
－）３x２－２x＋１ |
| ↓ ↓ |
ひく方の符号を全て変えて、たし算に直す |
２x２＋１x－３
＋）－３x２＋２x－１
－a２＋３a－４ |
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式の乗除
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例
② |
２a×３b |
＝２×a×３×b
＝２×３×a×b
＝６ab |
・・・各項を分解して
・・・係数と文字に分け
・・・係数は計算、文字はアルファベット順に書く |
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| a２×a３ |
＝（a×a）×（a×a×a）
＝a×a×a×a×a
＝a５ |
・・・一度分解してみるとわかりやすい |
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| （a２）３ |
＝（a２）×（a２）×（a２）
＝（a×a）×（a×a）×（a×a）
＝a×a×a×a×a×a
＝a６ |
・・・一度分解してみるとわかりやすい |
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| ２a２×３a３ |
＝（２×a×a）×（３×a×a×a）
＝２×a×a×３×a×a×a
＝（２×３）×（a×a×a×a×a）
＝６a５ |
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| ８ab÷（－４a） |
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・・・わり算はかけ算に直す |
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・・・先に符号を判別 |
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・・・分解して考える |
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・・・約分を忘れずに |
| ＝２b |
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| a６÷a２ |
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・・・わり算はかけ算に直す |
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・・・分解して考える |
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・・・約分を忘れずに |
| ＝a４ |
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代入と式の値
文字式の文字の部分に、別のもの（数字または別の文字式）を入れることを代入（だいにゅう）といいます。
数字や文字式を代入したときのもとの文字式の計算結果を式の値といいます。
＜式の値を求める＞
a＝－３、b＝－２を代入して次の式の値を求める。
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例
③ |
（２a－b）－（－a＋２b） |
＝（２a－b）＋（＋a－２b）
＝２a－b＋a－２b
＝２a＋a－b－２b
＝（２＋１）a＋（－１－２）b
＝３a－３b
＝３×（－３）－３×（－２）
＝－９－６
＝－１５ |
・・・まずは計算をして文字式を簡単にする
・・・－bは、係数に数字の１が省略されていることに注意
・・・a＝－３、b＝－２を代入（必ずかっこをつけて代入）
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文字式の代入
x＝a＋b＋c、y＝２a－b＋cを代入して次の式の値を求める。
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例
④ |
３x－y＋２ |
＝３（a＋b＋c）－（２a－b＋c）＋２
＝３a＋３b＋３c－２a＋b－c＋２
＝３a－２a＋３b＋b＋３c－c＋２
＝a＋４b＋２c＋２ |
・・・必ずかっこをつけて代入 |
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式の乗除
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例
⑤ |
（４a２）２÷（－２a）３ |
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・・・分数で表す |
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| ＝ |
（４a２）×（４a２） |
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| （－２a）×（－２a）×（－２a） |
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| ＝－ |
４×a×a×４×a×a |
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| ２×a×２×a×２×a |
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・・・先に符号を判別
分解して考える |
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・・・約分を忘れずに |
| ＝－２a |
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| a３÷a４×a２ |
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・・・分数で表す |
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・・・分解して考える |
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・・・約分を忘れずに |
| ＝a |
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| －２a２÷（－３a３）２÷a |
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・・・わり算をかけ算に |
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・・・分数で表す |
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・・・先に符号を判別
分解して考える |
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四則混合計算・その他の計算
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例
⑥ |
（x２－x－１）－２（x２＋x－３） |
＝x２－x－１－２x２－２x＋６
＝x２－２x２－x－２x－１＋６
＝（１－２）x２＋（－１－２）x＋（－１＋６）
＝－x２－３x＋５ |
・・・かっこをはずす
・・・同類項ごと計算 |
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| ２ |
（３x２－９x＋６）－ |
１ |
（２x２－４x＋８） |
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| ３ |
２ |
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＝（２x２－６x＋４）－（x２－２x＋４） |
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＝２x２－６x＋４－x２＋２x－４
＝２x２－x２－６x＋２x＋４－４
＝（２－１）x２＋（－６＋２）x＋（４－４）
＝x２－４x |
・・・かっこをはずす
・・・同類項ごと計算 |
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・・・分配法則 |
| ＝１２ab＋１８b |
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| ４a７÷２a４＋３a２×５a |
＝２a３＋１５a３
＝（２＋１５）a３
＝１７a３ |
・・・かけ算わり算が先
（↑省略します） |
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・・・ちょっと見やすく |
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・・・通分する |
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・・・符号に注意してかっこをはずす |
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・・・同類項を計算する |
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| ３a－｛２a－（a－２b）＋３b｝ |
＝３a－｛２a－a＋２b＋３b｝
＝３a－（２a－a＋２b＋３b）
＝３a－（a＋５b）
＝３a－a－５b
＝２a－５b |
・・・かっこをはずす
・・・中かっこを普通のかっこに書き換える
・・・かっこの中身を計算して整理する
・・・かっこをはずす
・・・計算する |
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３の倍数どうしの和は３の倍数であることを証明
３の倍数は３×（整数）で表すことができるので、３の倍数は整数a、bを用いて、３a、３bと表すことができる。
（３の倍数どうしの和）＝３a＋３b＝３（a＋b）
(a＋b)は整数なので、３（a＋b）は３の倍数である。
したがって、３の倍数どうしの和は３の倍数であることが証明された。
奇数どうしの和は偶数であることを証明
奇数は２でわると１余る数なので、奇数は整数a、bを用いて２a＋１、２b＋１と表すことができる。
（奇数どうしの和）＝（２a＋１）＋（２b＋１）＝２a＋２b＋２＝２（a＋b＋１）
（a＋b＋１）は整数なので、２（a＋b＋１）は２の倍数、つまり偶数である。
したがって、奇数どうしの和は偶数であることが証明された。
３桁の自然数の百の位と一の位を入れかえた数と、もとの数との差は９の倍数であることを証明
もとの数の百の位、十の位、一の位の数をそれぞれa、b、cとおく
| もとの数 |
百の位のaと、一の位のcを入れかえる
→→→→→→→→→→ |
入れかえた数 |
| 百の位 |
十の位 |
一の位 |
百の位 |
十の位 |
一の位 |
| a |
b |
c |
c |
b |
a |
もとの数を式であらわす
| 百の位・・・a |
１００がa個あるから・・・１００×a |
したがって、もとの数は
１００a＋１０b＋c
で、表すことができる |
| 十の位・・・b |
１０がb個あるから・・・１０×b |
| 一の位・・・c |
１がc個あるから・・・１×c |
入れかえた数を式であらわす
| 百の位・・・c |
１００がa個あるから・・・１００×c |
したがって、入れかえた数は
１００c＋１０b＋a
で、表すことができる |
| 十の位・・・b |
１０がb個あるから・・・１０×b |
| 一の位・・・a |
１がc個あるから・・・１×a |
この式を使って、もとの数と入れかえた数との差は
| （もとの数）－（入れかえた数） |
＝（１００a＋１０b＋c）－（１００c＋１０b＋a）
＝１００a＋１０b＋c－１００c－１０b－a
＝１００a－a＋１０b－１０b＋c－１００c
＝９９a－９９c
＝９（１１a－１１c） |
↑９の倍数であることを証明したいので、
９を前に出してかっこでくくる。
９９（a－b）としてしまわないように |
（１１a－１１c）は整数なので、９（１１a－１１c）は９の倍数である。
したがって、３桁の自然数の百の位と一の位を入れかえた数と、もとの数との差は９の倍数であることが証明された。
それぞれの位の数字の和が９の倍数になっている４桁の自然数は９の倍数であることを証明
４桁の自然数の千の位、百の位、十の位、一の位の数をそれぞれa、b、c、dとおく。
これらの数字の和が９の倍数であるので、a＋b＋c＋d＝９nと表すことができる。（nは整数）
４桁の自然数を式であらわす
| 千の位・・・a |
１０００がa個あるから・・・１０００×a |
したがって、４桁の自然数は
１０００a＋１００b＋１０c＋d
で、表すことができる |
| 百の位・・・b |
１００がb個あるから・・・１００×b |
| 十の位・・・c |
１０がc個あるから・・・１０×c |
| 一の位・・・d |
１がd個あるから・・・１×d |
４桁の自然数は
１０００a＋１００b＋１０c＋d
ここでa＋b＋c＋d＝９nだから |
＝１０００a＋１００b＋１０c＋d
＝（９９９a＋a）＋（９９b＋b）＋（９c＋c）＋d
＝９９９a＋９９b＋９c＋（a＋b＋c＋d）
＝９９９a＋９９b＋９c＋９n
＝９（１１１a＋１１b＋c＋n） |
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↑９の倍数であることを証明したいので、
９を前に出してかっこでくくる。 |
（１１１a＋１１b＋c＋n）は整数なので、９（１１１a＋１１b＋c＋n）は９の倍数である。
したがって、それぞれの位の数字の和が９の倍数になっている４桁の自然数は９の倍数であることが証明された。
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